Pengertian Turunan Fungsi dalam Matematika

Istilah turunan terkadang diasumsikan berbeda dengan pengertian yang sebenarnya di matematika khususnya kalkulus. Hal ini menurut saya wajar, karena istilah matematika tidak semua maknanya sama dengan istilah bahasa keseharian kita. Seperti dalam judul tulisan ini, bisa jadi istilah turunan dalam matematika mempunyai makna yang berbeda dengan istilah turunan dalam keseharian kita.

Menjadi sebuah kebiasaan saya mengajar, ketika memulai sebuah topik baru dengan istilah baru maka  saya mulai dengan pengertian istilah yang baru tersebut secara bahasa. Ini sengaja saya lakukan, karena bisa jadi sulitnya memahami sebuah konsep matematika itu dimulai dari ketidakpahaman dengan istilah yang digunakan.

Kembali ke istilah turunan, yang dalam bahasa Indonesia berasal dari kata dasar turun yang mempunyai arti bergerak ke arah bawah; bergerak ke tempat yang lebih rendah daripada tempat semula (kamus besar bahasa Indonesia). Yang jika dimaknai turun adalah sesuatu yang bergerak ke arah bawah.

Berbeda dengan istilah turun, dalam kamus besar bahasa Indonesia istilah turunan diartikan sebagai:

1. n keturunan; hasil menurunkan: dinasti itu memerintah sampai tiga ~
2. n peranakan: ia ~ Indonesia dan Belanda
3. n sesuatu yang turun-menurun
4. n Ling kata yang dibentuk dari hasil afiksasi, reduplikasi, atau penggabungan; kata jadian; kata turunan: meng- + ambil ~ mengambil
5. n Kim zat kimia yang dihubungkan secara struktur dengan zat lain dan secara teoretis diturunkan dari zat tersebut
6. n Kim zat yang dapat dibuat dari zat lain dalam satu tahap atau lebih
7. n bagian yang menurun; jalan yang menurun
8. (sumber: https://kbbi.kemdikbud.go.id/entri/turunan)

Berdasarkan dari dua hal tersebut dapat dikatakan bahwa turunan merupakan sesuatu hal baru yang diperoleh dari sesuatu hal sebelumnya. 

Kembali ke topik tentang turunan di matematika, istilah turunan secara umum juga mengacu pada pengertian dari segi bahasa seperti tersebut diatas. Terkait dengan turunan di matematika, secara umum dapat dikatakan bahwa sesuatu hal baru yang diperoleh dari sesuatu hal sebelumnya. Misalnya rumus-rumus matematika yang diperoleh dengan mengembangkan rumus matematika sebelumnya, maka rumus-rumus yang diperoleh semacam itu dapat diartikan sebagai turunan dari rumus sebelumnya. Hal ini adalah pengertian secara umum, namun akan berbeda ketika pembicaraan kita fokuskan pada istilah turunan fungsi.

Saya mengutip dari sebuah ebook (Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change, 5e. Donald LaTorre, John Kenelly, Sherry Biggers, Laurel Carpenter, Iris Reed, Cynthia Harris, halaman 184 ):

Derivative is the calculus term for (instantaneous) rate of change. Accordingly, all of the following terms are synonymous: derivative, instantaneous rate of change, rate of change, slope of the curve, and slope of the line tangent to the curve.

Yang jika diterjemahkan secara bebas kurang lebih demikian (google terjemah):

Derivatif adalah istilah kalkulus untuk tingkat perubahan (sesaat/seketika). Dengan demikian, semua istilah berikut adalah sinonim: turunan, laju perubahan sesaat (seketika), laju perubahan, kemiringan kurva, dan kemiringan garis yang bersinggungan dengan kurva.

Kalau merujuk pada hal tersebut, maka istilah turunan (derivatif)  merupakan istilah yang sinonim dengan laju perubahan sesaat, laju perubahan, kemiringan kurva (gradien), dan kemiringan garis (gradien) garis singgung kurva. Dimana istilah turunan dapat dikatakan sebagai tingkat perubahan (rate of change).

Dalam pembahasan turunan (derivatif) biasanya akan dimulai dengan dua hal: masalah gradien (kemiringan garis/kurva), dan kecepatan sesaat. Maka mempelajari turunan fungsi dalam matematika sebenarnya tidak terlepas dari konsep lain yang menjadi prasyarat, sehingga ketika penjelasan tentang turunan fungsi yang merupakan sinonim dari kemiringan garis maupun kecepatan sesaat menjadi bermakna.

Kesimpulan:

1. Istilah turunan secara umum dapat juga diterapkan secara umum juga dengan istilah turunan pada matematika. Misalnya: di matematika dikenal aksioma, yang merupakan dasar paling awal yang digunakan untuk menurunkan pernyataan-pernyataan setelahnya.
   
   
2. Istilah turunan fungsi, dikenal juga dengan istilah derivatif yang diartikan sebagai tingkat perubahan (rate of change). Istilah ini sinonim dengan istilah laju perubahan sesaat (seketika), laju perubahan, kemiringan kurva, dan kemiringan garis yang bersinggungan dengan kurva.

Pembahasan lebih lanjut tentang turunan fungsi akan dibahas pada tulisan lain.